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Geschrieben von: Dennis Rudolph Samstag, 19. Mai 2018 um 18:42 Uhr Was man unter dem Betragsstrich und der Betragsrechnung versteht, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an: Eine Erklärung was der Betragsstrich ist und wie die Betragsrechnung funktioniert. Beispiele zum Rechnen mit Beträgen. Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt. Ein Video zur Betragsrechnung. Rechnen mit beträgen klasse 7.5. Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema. Tipp: Wir sehen wir uns gleich die Grundlagen zur Betragsrechnung an. Wer beim Verständnis noch Probleme bekommt, sollte in die Grundlagen reinsehen unter Betrag Mathematik. Erklärung Betragsstrich / Betragsrechnung Was war noch einmal der Betrag? Eine kurze Erinnerung: Hinweis: Der Betrag einer Zahl gibt an, wie weit diese Zahl von der 0 entfernt ist. Daher erhält man den Betrag einer Zahl durch weglassen des Vorzeichens. Der Betrag wird mit zwei Betragsstrichen dargestellt. Dabei handelt es sich um zwei vertikale Striche. Machen wir dies einmal an einem Beispiel: Egal ob wir +3 oder -3 nehmen, beide Zahlen sind von der 0 gleich weit entfernt.
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Betrag einer Zahl ist. Definition Die folgende Abbildung soll diesen Sachverhalt veranschaulichen: Der Abstand von $-3$ zum Nullpunkt ist $3$. In mathematischer Schreibweise: $|-3| = 3$. Betragsstrich / Betragsrechnung. Der Abstand von $3$ zum Nullpunkt ist $3$. In mathematischer Schreibweise: $|3| = 3$. Offenbar gilt: $$ |-3| = |3| $$ Da Abstände nicht negativ sind, gilt $|x| = x$ für $x \geq 0$ Beispiel: $|3| = 3$ $|x| = -x$ für $x < 0$ Beispiel: $|-3| = -(-3) = 3$ Mit diesem Wissen können wir den Betrag einer reellen Zahl endlich definieren: Beispiel 1 $$ |8| = 8 $$ Beispiel 2 $$ |-7| = -(-7) = 7 $$ Beispiel 3 $$ |2 - 5| = |-3| = 3 $$ $2$ und $5$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $3$. Beispiel 4 $$ |5 - 2| = |3| = 3 $$ $5$ und $2$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $3$. Beispiel 5 $$ |-2 - 5| = |-7| = 7 $$ $-2$ und $5$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $7$. Beispiel 6 $$ |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7 $$ $5$ und $-2$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $7$.
Daher haben eine Zahl und ihre Gegenzahl immer den gleichen Betrag. Dies lässt sich auf den Betrag von Vektoren verallgemeinern, der ebenfall als die Länge eines Pfeils definiert ist. Die Funktion \(f: \ x \mapsto |x|\) mit der Definitionsmenge \(D = \mathbb R\) und der Wertemenge \(W = \mathbb R_0^+\) heißt Betragsfunktion. Analog zu oben gilt Der Funktionsgraph der Betragsfunktion folgt im I. Quadranten der 1. Winkelhalbierenden ( identische Funktion y = x) und im II. Quadranten der 2. Winkelhalbierenden (Funktion y = – x). Rechnen mit beträgen klasse 7 afrika. Die Betragsfunktion hat die Nullstelle x = 0. Ihr Graph ist symmetrisch zur y -Achse. Wegen \(f (x) = |x| \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) ist die Betragsfunktion nach unten beschränkt. Die größte untere Schranke (das Infimum) ist 0. Die Betragsfunktion ist eines der einfachsten Beispiele für eine Funktion, die nicht überall differenzierbar ist: Für alle x < 0 ist \(\left( |x| \right)' = -1\) für alle x > 0 dagegen \(\left( |x| \right)' = +1\), daher ist \(\left( |x| \right)'\) für x = 0 nicht eindeutig definiert.
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