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Auch jetzt berechnen wir wieder unsere neu gewonnenen Strecken, indem wir die Originalstrecken mit dem Faktor 0, 5 multiplizieren: $\overline{ZA}\cdot k\mathrm{=2\ cm}\mathrm{\cdot}\mathrm{0, 5=1\ cm=}\overline{ZA'}$ und $\overline{ZB}\cdot k\mathrm{=2, 24\ cm}\mathrm{\cdot}\mathrm{0, 5=1, 12\ cm=}\overline{ZB'}$ Wir können sehen, dass die beiden Bildpunkte $A\mathrm{', \}B\mathrm{'}$, jetzt innerhalb unserer alten Figur liegen und das neu entstandene Dreieck kleiner ist. Auf diesem Wege gelangen wir zu unserem nächsten wichtigen Begriff, nämlich der Begriff der Ähnlichkeit. In diesem Video findest du Beispiele zum Thema Zentrische Streckung Zentrische Streckung, Beispiele, Ähnlichkeitsabbildungen, Verhältnisse, Mathe by Daniel Jung Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Gestalt haben, aber unterschiedlich groß sind. Zum Verständnis wollen uns noch einmal unsere beiden Beispiele zur zentrischen Streckung ins Gedächtnis rufen. Die zwei neu entstandenen Dreiecke entsprachen ihrer grundliegenden Form genau der des ursprünglichen Dreiecks, der einzige Unterschied war lediglich die Größe.
Flächeninhalt des Bildes ist k 2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur. Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k. Strecke das Viereck ABCD am Streckzentrum Z mit Streckfaktor k. Streckzentrum: Streckfaktor: Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an. Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt: Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch). Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion! ). Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß. Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z. |k |= |ZA'|: |ZA|.
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Wir können also sagen, dass unsere Figuren ähnlich sind. Zur Vertiefung nochmal Daniels Video zum Thema Zentrische Streckung anschauen! An dieser Stelle kommen wir zum nächsten wichtigen Punkt, den Kongruenzsätzen bei Dreiecken. Verwechselt bitte nicht die Ähnlichkeit mit der Kongruenz. Unsere Dreiecke, aus dem Beispiel oben, waren ähnlich, aber nicht kongruent. Kongruent bedeutet, dass die Figuren (z. B. zwei Dreiecke), deckungsgleich sein müssen. Sie stimmen also sowohl in ihrer Form als auch in ihrer Größe überein. Daraus können wir ableiten, dass kongruente Figuren automatisch auch immer ähnlich zueinander sind, aber nicht umgekehrt. Im Folgenden wollen wir uns die Kongruenzsätze für Dreiecke angucken: bedeutet: Seite, Seite, Seite. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn alle ihre Seitenlängen übereinstimmen, klingt irgendwie logisch, oder!? bedeutet: Seite, Winkel, Seite. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn zwei ihrer Seitenlängen übereinstimmen und der von den beiden Seiten eingeschlossene Winkel.
Auf dieser Unterseite erklären wir dir alles Wichtige zu den Themen Zentrische Streckung, Ähnlichkeiten, Kongruenz, Strahlensätze: Zentrische Streckung Ähnlichkeit Kongruenz Strahlensätze Mathe einfach erklärt! Unser Lernheft für die 5. bis 10. Klasse 4, 5 von 5 Sternen 14, 99€ Bei einer zentrischen Streckung handelt es sich um eine Vergrößerung bzw. um eine Verkleinerung der Originalfigur. Ausgangspunkt jeder zentrischen Streckung ist das sogenannte Streckzentrum ($Z$). Zu diesem Zweck wollen wir uns die unten angezeigte Figur einmal genauer angucken. Bei unserer Figur handelt es sich um ein Dreieck. Das Streckzentrum ($Z$) liegt, wie zu sehen, links. Wir wollen dieses Dreieck jetzt zuerst einmal vergrößern. An diesem Punkt kommt der sogenannte Streckungsfaktor $k$ ins Spiel. Er gibt an, mit welchem Faktor ich die Figur vergrößern muss. Wir wählen in unserem Fall $k\mathrm{=2}$. Das bedeutet, dass wir die Originalstrecken mit dem Faktor 2 vergrößern oder anders ausgedrückt, wir verdoppeln die Längen der Originalstrecken.
\] Da wir die Länge unserer zwei parallelen Geraden kennen, benutzen wir also folglich den 2. Strahlensatz. Für mehr Übersichtlichkeit lassen wir die Einheit Meter zunächst weg. Bei unserer Antwort müssen wir diese aber unbedingt angeben! Es gilt: $\frac{\overline{ZA}}{\mathrm{1m\}}\mathrm{=}\frac{\overline{ZA}\mathrm{+2m\}}{\mathrm{2m\}}$ Diese Gleichung lösen wir jetzt nach $\overline{ZA}$ auf. Wir multiplizieren als erstes die gesamte Gleichung mit 2. \[\frac{\overline{ZA}}{1m\}=\frac{\overline{ZA}+2m\}{2m\}\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |}\mathrm{\cdot}\mathrm{2m\}\] \[\mathrm{2m}\cdot \overline{ZA}=\overline{ZA}+2m\mathrm{\}\] Die Multiplikation mit 2 lässt den Bruch auf der rechten Seite verschwinden, da sich die 2 mit der 2 kürzen lässt. Auf der linken Seite entsteht $\mathrm{2m}\mathrm{\cdot}\overline{ZA}$, die 1 im Nenner muss nicht weiter hin geschrieben werden, da sich der Wert nicht ändert, wenn wir irgendetwas durch 1 teilen (z. $\mathrm{2\:1=2}$). Als nächstes bringen wir $\overline{ZA}$ auf eine Seite der Gleichung: \[2m\cdot \overline{ZA}=\overline{ZA}+2m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-\overline{ZA}\] \[2m\cdot \overline{ZA}-\overline{ZA}=2m\ \] \[\overline{ZA}=2m\ \] Die Breite des Flusses beträgt also $\mathrm{2\ m}$.